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不等式的证明课堂实录

不等式的证明课堂实录

一、不等式证明的常用方法和基本不等式 
  师:前面我们复习了不等式的性质,现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题:
  [例1]求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
  如何证明这个不等式呢?我们回忆一下,不等式证明有哪些常用的方法?
  生:比较法、分析法和综合法.
  师:什么是比较法?这个不等式能不能用比较法来证明?
  生:要证明a>b,只要证明a-b>0,这就是不等式证明的比较法,这个不等式能用比较法证明.
  证法一
  ∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
   =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2
   =(bc-ad)2≥0
  ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
  师:用比较法证明不等式的基本步骤有哪些?
  生:有三步:(1)作差 (2)变形 (3)确定符号
  师:什么是分析法?这个不等式能不能用分析法来证明?
  生:从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题;如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.
  证法二
  要证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
  只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
  也就是证明b2c2+a2d2≥2abcd
  即  (bc-ad)2≥0
  ∵(bc-ad)2≥0成立
  ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立
  (教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)
  师:什么是综合法?这个不等式能不能用综合法来证明?
  生:利用某些已经证明过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式,这种方法是不等式证明的综合法,这个不等式能用综合法来证明.
  证法三
  ∵b2c2+a2d2≥2abcd
  ∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2
  即  (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
  师:应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式.这些不等式大都是基本不等式,主要有:
  a2+b2≥2ab (a、b∈R)
   (a、b∈R+)
  这里要注意:
  (1)不等式成立的条件,字母的允许值范围;
  (2)当且仅当a=b时,等号成立.
  [这里改变了高三复习课先整理知识,然后讲解例题的传统模式,而是先提出问题让学生思考,创设问题情境,激起学生复习的欲望和要求,唤起学生对旧知识的回忆,引起学生的思维.这样可以提高学生复习的积极性.在此基础上,通过教师的启发,让学生自己逐步回忆过去所学的知识,应用它们来分析问题和解决问题,最好引导学生自己归纳、整理旧知识,形成比较系统和完整的知识结构.]
  二、不等式证明方法的应用
  [例2]已知a、b、c是不全相等的正数.
     求证:
  (先让学生议论,然后由学生起来回答,教师板书.)
  证明:∵
      a、b、c是不全相等的正数
      ∴①②③中等号不同时成立
      ∴
      即
  (如果学生按上述步骤进行证明,教师应提出:这样证明有没有问题?让学生通过思考后发现:在证明一开始必须先指出a、b、c∈R+,否则不能确定①、②、③是否成立.)
  师:在证明不等式时,应注意以下几点:
  (1)不等式的逆向运用,要证明不等式可以先证明它的逆向不等式.
  (2)已知条件在不等式证明中的应用.由于a、b、c是三个不全相等的正数,从而得出①、②、③中三个等号不同时成立,于是才能证得原不等式成立.
  (3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.
  [例3]已知a、b、c∈R+,求证:
  (师生共同进行分析)
  要证明
  只要证明
  也就是证明
  如何证明这个不等式呢?(让学生议论后回答)
  生:∵a、b∈R+
    ∴
    ∴
  师:这样证明有没有问题?  生:(回答略)
  师:在证明中必须注意:
  
  
  这是因为两个同向不等式相乘,必须两个不等式的两边都是正的,才能运用不等式性质得出正确的结论.
  通过讨论我们可以得出如下结论:
  (1)在证明不等式时,常常先用分析法思考,然后运用综合法来表达.
  (2)在不等式证明中常常要综合应用其他的数学知识,如例3中要应用对数函数的增减性来证明.
  (3)同向不等式相乘也是用综合法证明不等式的常用手段.
  [复习基本方法除了理解方法本身以外,重点是复习它的应用,关键是掌握运用基本方法的规律以及在运用时应注意的问题.在证明不等式时,常常先用分析法思考,然后用综合法表达,在运用综合法时,同向不等式相加和相乘又是常用的手段,还有不等式的逆向运用问题.在不等式证明的过程中,特别要注意基本不等式和不等式性质运用时所必须具备的条件,所有这些都必须通过复习让学生掌握.这里还运用提出问题、分析问题和解决问题的方式来进行复习,让学生在解决问题的过程中,通过讨论,自己总结规律,掌握方法,提高能力,充分发挥他们的主体作用,提高复习效果.]
  三、不等式证明方法的灵活应用
  师:下面请同学们探讨一下例4的解法
  [例4]已知a、b、c∈R+,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)≥6abc

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