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说课—《等差数列前n项和的公式》

教学目标

  A、知识目标:

  掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。

  B、能力目标:

  (1)通过公式的探索、发现,在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。

  (2)利用以退求进的思维策略,遵循从特殊到一般的认知规律,让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式,培养学生类比思维能力。

  (3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析,培养学生思维的灵活性,提高学生分析问题和解决问题的能力。

  C、情感目标:(数学文化价值)

  (1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中,从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。

  (2)通过公式的运用,树立学生"大众教学"的思想意识。

  (3)通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学史,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。

教学重点:等差数列前n项和的公式。

教学难点:等差数列前n项和的公式的灵活运用。

教学方法:启发、讨论、引导式。

教具:现代教育多媒体技术。

教学过程

  一、创设情景,导入新课。

  师:上几节,我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质,今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。提起数列求和,我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事,小高斯上小学四年级时,一次教师布置了一道数学习题:"把从1到100的自然数加起来,和是多少?"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050,这使教师非常吃惊,那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算,那你们就是二十世纪末的新高斯。(教师观察学生的表情反映,然后将此问题缩小十倍)。我们来看这样一道一例题。

  例1,计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.

  这道题除了累加计算以外,还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后,让学生自行发言解答。

  生1:因为1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,所以可凑成5个11,得到55。

  生2:可设S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10,根据加法交换律,又可写成  S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

  上面两式相加得2S=11+10+......+11=10×11=110
               10个

  所以我们得到S=55,

  即1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

  师:高斯神速计算出1到100所有自然数的各的方法,和上述两位同学的方法相类似。

  理由是:1+100=2+99=3+98=......=50+51=101,有50个101,所以1+2+3+......+100=50×101=5050。请同学们想一下,上面的方法用到等差数列的哪一个性质呢?

  生3:数列{an}是等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.

  二、教授新课(尝试推导)

  师:如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。

  生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

  Sn=an+an-1+......a2+a1

  两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
                  n个

        =n(a1+an)

      所以Sn=(I)

  师:好!如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)

  上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d,Sn==na1+ d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。

  三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。

  1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例2、计算:

  (1)1+2+3+......+n

  (2)1+3+5+......+(2n-1)

  (3)2+4+6+......+2n

  (4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

  请同学们先完成(1)-(3),并请一位同学回答。

  生5:直接利用等差数列求和公式(I),得

  (1)1+2+3+......+n=

  (2)1+3+5+......+(2n-1)=

  (3)2+4+6+......+2n==n(n+1)

  师:第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。

  生6:(4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以

  原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

    =n2-n(n+1)=-n

  生7:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:
  原式=-1-1-......-1=-n
       n个

  师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。

  例3、(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。

  生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4

     又∵d=-2,∴a1=6

     ∴S12=12 a1+66×(-2)=-60

  生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4
      a8+a9+a10=75,a1+8d=25

  解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+=145

  师:通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例3自己编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。

  师:(继续引导学生,将第(2)小题改编)

  ①数列{an}等差数列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n

  ②若此题不求a1,d而只求S10时,是否一定非来求得a1,d不可呢?引导学生运用等差数列性质,用整体思想考虑求a1+a10的值。

  2、用整体观点认识Sn公式。

  例4,在等差数列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教师启发学生解)

  师:来看第(1)小题,写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较,你发现了什么?

  生10:根据等差数列的性质,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。

  师:对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差数列的性质可求a1与an的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。

  师:由于时间关系,我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析,引导学生观察当d≠0时,Sn是n的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后,这留给同学们课外继续思考。

  最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题:

  已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=。数列{an}是否为等差数列,并说明理由。

  四、小结与作业。

  师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。

  生11:1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。

  2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用。

  生12:1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。

  2、具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题通法。

  3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性质,看能否用整体思想的方法求a1+an的值。

  师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。

  本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。

  数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。

  作业:P49:13、14、15、17

 来源地址:www.diyifanwen.com/jiaoan/gaozhongshuxueshuokegao/2227380882522273821167676.htm

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