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公约数与最大公约数

发布时间:2022-04-30
一、情景导入

课件:出示长30分米,宽24分米的长方形。

师:同学们,今天老师请大家帮一个忙,老师有一间厨房要铺地砖,看大屏幕,这就是厨房的形状,长30分米,宽24分米,请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地,才能铺得既整齐又节约呢?告诉老师正方形的边长是几?

生:1、2、3、6分米。

师:如果老师还想铺快点,你认为哪一种方法最好?

生:6分米。

师:同学们是怎样想到用边长1、2、3、6分米的正方形在砖铺地砖铺地的?

生:这些数既是30的约数又是24的约数。

师:同学们的回答是正确的,为什么正确呢?这就是我们这节课将要探讨的内容。

板书:最大公约数

二、新课

师:同学们8的约数有哪些?

生:1、2、4、8。

师:12的约数有哪些?

生:1、2、3、4、6、12。

师:请同学们观察一下哪些是8和12公有的约数?

生:1、2、4。

师:我们把8和12公有的约数1、2、4叫做8和12的公约数。

师:这些公约数中,谁最大?

生:4。

师:4就是8和12的最大公约数。

师:通过刚才的探索,你能说说什么是公约数,什么是最大公约数。

生:说概念。

师:好,12个数公有的约数叫做这几个数的公约数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

师:好,看大屏幕,请同学们齐读一遍。

师:当然8除的公约数外,8还有独有的约数8,12还有独有的约数,3、6、12。

师:下面请同学们找出15和18的公约数,再找出它的最大公约数。

师:15的约数有哪些?

生:……

师:18的约数有哪些?

生:1、2、3、6、9、18。

师:15和18的公约数有哪些?

生:1、3。

师:15和18的最大公约数是几?

生:3。

师:除公约数外,15独有的约数是多少?

生:5、15。

师:18独有的约数是几?

生:2、6、9、18。

师:下面请同学们找出5和7、7和9、8和9的公约数和最大公约数。

生:找到了。

师:好,谁来说5和7的公约数和最大公约数?

生:……

师:好,谁来说7和9的公约数和最大公约数?

生:……

师:谁来说8和9?

生:……

师:请同学们仔细观察一下,5和7,7和9、8和9它的公约数有什么特点?

生:公约数都是1。公约数只有一个。

师:我们把公约数只有1的两个数叫做互质数,好,请同学们齐读一遍。

生:(读)

师:谁能举一组互质数。

生:……

师:好,请同学们想一想质数和互质数有什么不同?

生:……

师:质数只对一个数来说,互质数是对两个数来说的。

师:上面我们用到举例法找出了两个数的最大公约数,你们觉得这种方法麻烦吗?

生:麻烦。

师:那有没有简便的方法来求两个数的最大公约数呢?下面我们就一起来探讨,请同学们先用列举法找出18和30的最大公约数,再把18和30分解质因数有什么联系?

师:好,开始。

(推导)

师:谁来说说你们组探讨的结果。

……

生:18和30的最大公约数6等于18和30公有质因数2和3的乘积。

师:18分解质因数是:

生:18=2×3×3

师:30分解质因数是:

生:30=2×3×5

师:18和30的最大公约数就等于公有质因数2和3的乘积。

师:谁能说说为什么可以这样算?

公约数要包含两个公有的质因数。

生:最大公约数能整除这两个数,所以必须包含这些公有的质因数的乘积。

师:好,18和30的公约数,既能整除18又能整除30,所以18和30的公约数不必须包含18和30公有的质因数,而最大公约数是公约数中最大的一个,它就必须包含全部公有的质因数,所以最大公约数等于全部公有质因数的乘积。
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