1、 ( 、 )。
2、 ( 、 , )(当且仅当 时取等号)。
3、若 、 、 且 ,则 (真分数的分子分母加上同一个正数,值变大)。
4、若 、 、 且 ,则 。
5、 。
6、一个重要的均值不等式链:设 ,则有 (当且仅当 时取等号)。
7、若已知条件中含有或隐含着" "或" "这一信息,常常可以设" "用这种和式增量法来证明不等式、求值、或比较大小。
8、不等式证明常用的放缩方法:
(1) ;
(2) 。
七、解析几何:
1、两条平行直线 和 之间的距离为 。
2、直线 过定点 ,且点 在圆 内,则 与圆 必相交。
过圆内一点 的弦长,以直径为最大,垂直于 ( 为圆心)的弦为最小。
3、直线在 轴、 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况。
4、直线过定点 时,根据情况有时可设其方程为 ( 时直线 )应用点斜式解题,应检验直线斜率不存在的情况。
5、 已知圆的方程是 和点 ,若点 是圆上的点,则方程 表示过点 的圆的切线方程;若点 在圆外,则方程 表示过点 向圆所作的两条切线的切点所在的直线方程(又称切点弦方程)。
6、过圆 上一点 的圆的切线方程是:
。
7、圆 和 相交于 、 两点,则直线 为这两圆的"根轴",其方程为 (即为公共弦 所在的直线方程。利用此法,可以推导圆的切点弦方程)。
8、已知一个圆的直径端点是 、 ,则圆的方程是:
。
9、给一定点 和椭圆: , 、 分别为左右焦点,有如下性质:
(1)若点 在椭圆上,则 , (由椭圆第二定义推出);
(2)若点 在椭圆上,过这一点的椭圆的切线方程则可表示为: ;
不等式教案
不等式证明(通用2篇)
不等式证明 篇1
教材:不等式证明一(比较法)
目的:以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程:
一、复习:
1.不等式的一个等价命题
2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论
二、作差法:(P13—14)
甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;有一半路程乙以速度m行走,另一半路
不等式证明 篇2目的:以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
过程:
一、复习:
1.不等式的一个等价命题
2.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断——结论
二、作差法:(P13—14)
1. 求证:x2 + 3 > 3x
证:∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2. 已知a, b, m都是正数,并且a < b,求证:
证:
∵a,b,m都是正数,并且a<b,∴b + m > 0 , b - a > 0
∴ 即:
变式:若a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断?
3. 已知a, b都是正数,并且a ¹ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2
证:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)
=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
第二册不等式(通用3篇)
第二册不等式 篇1
教学目标
1. 使学生掌握不等式的三条基本性质;
2. 培养学生观察、分析、比较的能力,提高他们灵活地运用所学知识解题的能力.
教学重点和难点
重点:不等式的三条基本性质的运用.
难点:不等式的基本性质3的运用.
课堂教学过程 设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1. 什么叫不等式?说出不等式的三条基本性质.
2. 当x取下列数值时,不等式1-5x<16是否成立?
3,-4,-3,4,2.5,0,-1.
3. 用不等式表示下列数量关系:
(1) x的3倍大于x的2倍与5的差; (3)y的 与x的 的差小于2;
(2) y的一半与4的和是负数; (4)5与a的4倍的差不是正数.
4. 按照下列条件写出仍然成立的不等式,并说明根据不等式的哪一条基本性质:
(1)m>n,两边都减去3; (2)m>n,两边同乘以3;
(3)m>n,两边同乘以-3; (4)m>n,两边同乘以-3;
(5)m>n,两边同乘以 .
(以上各题中,从第2题开始,用投影仪打在屏幕上.学生在回答上述问题时,如遇到困难,教师应做适当点拨)在学生回答完上述问题的基础上,教师指出:本节课我们将通过学习例题和练习,进一步巩固并熟练掌握不等式的基本性质,尤其是不等式基本性质。
不等式的证实(精选3篇)
不等式的证实 篇1
教学目标
(1)理解证实不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义;
(2)把握用比较法、综合法和分析法来证简单的不等式;
(3)能灵活根据题目选择适当地证实方法来证不等式;
(4)能用不等式证实的方法解决一些实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力;
(6)通过不等式证实,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力;
(7)通过组织学生对不等式证实方法的意义和应用的参与,培养学生勤于思考、善于思考的良好学习习惯.
教学建议
(一)教材分析
1.知识结构
2.重点、难点分析
重点:不等式证实的主要方法的意义和应用;
难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;
②综合性问题选择适当的证实方法.
(1)不等式证实的意义
不等式的证实是要证实对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.
(2)比较法证实不等式的分析
①在证实不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.
②证实不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.
由于 ,因此,证实 ,可转化为证实与之等价的 .这种证法就是求差比较法.
由于当 时, ,因此,证实 可以转化为证实与之等价的 .这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证实不等式 时,一定要注重 的前提条件.
③求差比较法的基本步骤是:“作差——变形——断号”.
其中,作差是依据,变形是手段,判定符号才是目的.
变形的目的全在于判定差的符号,而不必考虑差值是多少.
数学教案-不等式的证明(精选2篇)
数学教案-不等式的证明 篇1
第二课时
教学目标
1.进一步熟练掌握比较法证明不等式;
2.了解作商比较法证明不等式;
3.提高学生解题时应变能力.
教学重点 比较法的应用
教学难点 常见解题技巧
教学方法 启发引导式
教学活动
(一)导入 新课
(教师活动)教师打出字幕(复习提问),请三位同学回答问题,教师点评.
(学生活动)思考问题,回答.
[字幕]1.比较法证明不等式的步骤是怎样的?
2.比较法证明不等式的步骤中,依据、手段、目的各是什么?
3.用比较法证明不等式的步骤中,最关键的是哪一步?学了哪些常用的变形方法?对式子的变形还有其它方法吗?
[点评]用比较法证明不等式步骤中,关键是对差式的变形.在我们所学的知识中,对式子变形的常用方法除了配方、通分,还有因式分解.这节课我们将继续学习比较法证明不等式,积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用.(板书课题)
设计意图:复习巩固已学知识,衔接新知识,引入本节课学习的内容.
(二)新课讲授
【尝试探索,建立新知】
(教师活动)提出问题,引导学生研究解决问题,并点评.
(学生活动)尝试解决问题.
[问题]
1.化简
2.比较 与 ( )的大小.
(学生解答问题)
[点评]
①问题1,我们采用了因式分解的方法进行简化.
②通过学习比较法证明不等式,我们不难发现,比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小.
不等式和它的基本性质(通用11篇)
不等式和它的基本性质 篇1
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是不等式的三条基本性质.难点是不等式的基本性质3.掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式(组)的解法等后续知识的基础.
1.不等式的概念
用不等号(“<”、“>”或“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.
另外, (“≥”是把“>”、“=”)结合起来,读作“大于或等于”,或记作“≮”,亦即“不小于”)、 (“≤”是把“<”、“=”结合起来,读作“小于或等于”,或记作“≯”,也就是“不大于”)等等,也都是不等式.
2.当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时,所得结果仍是不等式.但变形所得的不等式中不等号的方向,有的与原不等式中不等号的方向相同,有的则不相同.因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”,而应明确变形所得的不等式中不等号的方向.
3.不等式成立与不等式不成立的意义
例如:在不等式 中,字母 表示未知数.当 取某一数值 时, 的值小于2,我们就说当 时,不等式 成立;当 取另外某一个数值 时, 的值不小于2,我们就说当 时, 不等式不成立.
4.不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据,性质1、2类似等式性质,不等号的方向不改变,性质3不等号的方向改变,这是不等式独有的性质,也是初学者易错的地方,因此要特别注意.
一、素质教育目标
(-)知识教学点
1.了解不等式的意义.
2.理解什么是不等式成立,掌握不等式是否成立的判定方法.
3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.
(二)能力训练点
1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力.
2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力.
(三)德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题,培养他们积极的参与意识,竞争意识.
(四)美育渗透点
通过不等式的学习,渗透具有不等量关系的数学美.
二、学法引导
不等式的证明(精选14篇)
不等式的证明 篇1
第四课时
教学目标
1.掌握分析法证明不等式;
2.理解分析法实质——执果索因;
3.提高证明不等式证法灵活性.
教学重点 分析法
教学难点 分析法实质的理解
教学方法 启发引导式
教学活动
(一)导入 新课
(教师活动)教师提出问题,待学生回答和思考后点评.
(学生活动)回答和思考教师提出的问题.
[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?
[问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:
[点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法.(板书课题)
设计意图:复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,
激发学生学习新的证明不等式知识的积极性,导入 本节课学习内容:用分析法证明不等式.
(二)新课讲授
【尝试探索、建立新知】
(教师活动)教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.
(学生活动)与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.
[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式.
[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?
不等式的解法举例(精选5篇)
不等式的解法举例 篇1
教学目标
(1)能熟练运用不等式的基本性质来解不等式;
(2)在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;
(3)能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式(组)来解;
(4)通过解不等式,要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想;
(5)通过解各种类型的不等式,培养学生的观察、比较及概括能力,培养学生的勇于探索、敢于创新的精神,培养学生的学习兴趣.
教学建议
一、知识结构
本节内容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上,进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则,将这些不等式等价转化为一次不等式(组)或二次不等式的求解,具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号,无理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式为:
;
;
;
二、重点、难点分析
本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.
函数与不等式问题的解题技巧
【命题趋向】
全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向.考纲是考试法典,是命题的依据,是备考的总纲.科学备考的首要任务,就是要认真学习、研究考纲.对照考纲和高考函数试题有这样几个特点:
1.通过选择题和填空题,全面考查函数的基本概念,性质和图象.
2.在解答题的考查中,与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现.
3.从数学具有高度抽象性的特点出发,没有忽视对抽象函数的考查.
4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的.
5.涌现了一些函数新题型.
6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题,而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导.
函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分.
1.在选择题中会继续考查比较大小,可能与函数、方程、三角等知识结合出题.
2.在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围,以及求最大值和最小值应用题.
3.解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.
分值在27---32分之间,一般为2个选择题,1个填空题,1个解答题.
【考点透视】
1.了解映射的概念,理解函数的概念.
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质.
函数、方程及不等式的关系复习提纲
高考要求
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想和方法
重难点归纳
1 二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法
y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n
(2)当a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值m,最小值m,令x0= (p+q)
若- <<i>p,则f(p)=m,f(q)=m;
若p≤- <<i>x0,则f(- )=m,f(q)=m;
若x0≤- <<i>q,则f(p)=m,f(- )=m;
若- ≥q,则f(p)=m,f(q)=m
2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件
(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大,另一根比r小 a·f(r)<0;
(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r
(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根
(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根 f(p)·f(q)<0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(p<<i>q)
3 二次不等式转化策略
(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是
(-∞,α )∪[β,+∞ a<0且f(α)=f(β)=0;
(2)当a>0时,f(α)<<i>f(β) |α+ |<|β+ |,
当a<0时,f(α)<<i>f(β) |α+ |>|β+ |;
(3)当a>0时,二次不等式f(x)>0在[p,q]恒成立
或
(4)f(x)>0恒成立